Signos de agrupación
Para aplicar las propiedades conmutativa y asociativa, que se verán más adelante, y dar soluciones a operaciones aritméticas, es necesario el conocimiento y empleo adecuado de los signos de agrupación, que son básicamente los siguientes:
Paréntesis ( )
Corchetes [ ]
Llaves { }
Los signos de agrupación pueden emplearse de la siguiente manera:
Para considerar una expresión como número único. Por ejemplo, en la expresión 4(10/5) podemos considerar que (10/5) es un número único, ya que esta expresión puede ser sustituida por el valor de su operación, que es 2.
Para sustituir el signo de multiplicación. Por ejemplo:
4 x 5= 4 (5) = (4) 5 = (4) (5).
Para establecer o modificar el orden en las operaciones. Por ejemplo, en la expresión 9 + 6 / 3, si queremos primero sumar y despues dividir, se colocan los parentesis de la siguiente manera:
Propiedad asociativa
Esta propiedad se aplica en muchas operaciones aritméticas con números naturales. Indica que se pueden relacionar o agrupar dos o más términos. Como mínimo debemos tener tres sumandos, o tres factores, para realizar la asociación: para aplicar y expresar esta propiedad se necesitan los signos de agrupación ( ), [ ] y { }.
Ejemplos:
2 + 4 + 5 = (2 + 4) + 5
11= 6 + 5
11= 11
Esta asociación indica: primero suma 2 más 4 y al resultado hay que sumarle 5.
(2) (3) (6) = (2) [(3) (6)]
36 = (2) (18)
36 = 36
Esta asociación indica: primero multiplica 3 por 6, y su resultado hay que multiplicarlo por 2.
La propiedad asociativa para la adición y el producto permite asociar números por pares al principio, en medio o al final de la operación.
5 + 3 + 2 + 4 = 14
(5 + 3) + 2 + 4 = 14 al principio
5 + (3 + 2) + 4 = 14 En medio
5 + 3 + (2 + 4) = 14 Al final
Ejemplos:
¿Es lo mismo (15 - 4) - 3 que 15 - (4 - 3)? No, pues:
(15 - 4) - 3 = 11 - 3 = 8
15 - (4 - 3) = 15 - 1 = 14
Propiedad distributiva
Es la propiedad de repartir una operación en otra, quedando igual la respuesta. A continuación explicaremos la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición y la sustracción; es decir, encontraremos la relación que se da entre dos factores cuando uno de ellos, el factor (a) multiplica a otro que es una suma (b + c) o una resta (b - c).
La propiedad distributiva consiste en distribuir un factor a en una suma
(b + c) o en una resta (b - c).
Por ejemplo, ¿Qué sucede si tenemos a (b + c) o a (b - c)? ¿Se puede escribir de otra forma?
La propiedad distributiva se expresa como:
a (b + c) = ab + ac o a (b - c) = ab - ac
De esta manera, esta propiedad se puede definir de la siguiente forma:
"El producto de unos de los factores por otro que es la suma de dos términos es igual a la suma de los productos del primero por cada uno de los otros dos."
Ejemplos:
Producto Suma
2 (4 + 3) = 2 (4 ) + 2 (3)
2 (7) = 8 + 6
14 = 14
2 (4 - 3) = 2 (4) - 2 (3)
2 (1) = 8 - 6
2 = 2
No es valida la propiedad distributiva para el cociente. Para comprender mejor revisa el siguiente ejemplo:
12 / (4 + 2) ≠ (12 / 4 ) + (12 / 2)
12 / (6) ≠ 3 + 6
2 ≠ 9
Así, la propiedad distributiva sólo se aplica en la multiplicación sobre la suma o la resta.
Para recordar:
Para establecer o modificar el orden en las operaciones. Por ejemplo, en la expresión 9 + 6 / 3, si queremos primero sumar y despues dividir, se colocan los parentesis de la siguiente manera:
(9 + 6) / 3 = 15 / 3 = 5
Para saber qué operación debes resolver primero en una expresión, deberás conocer la jerarquía de las mismas; es decir, respetar las dos siguientes reglas.
PRIMERA: Se deben resolver todas las multiplicaciones y divisiones indicadas en la expresión de izquierda a derecha (➔), después, las sumas y las restas siguiendo el mismo orden (➔). El ejemplo anterior puede resolverse sin los paréntesis de la siguiente manera:
9 + 6 / 3 = 9 + 2 = 11
Ejemplos:
Aplicando la regla anterior, resolveremos los siguientes ejemplos:
6 + 4 x 3 = 6 + 12 = 18
6 + 4 (3) = 6 + 12 = 18
10 / 5 + 8 x 4 = 2 + 32 = 34
(10 / 5) + 8 (4) = 2 + 32 = 34
SEGUNDA: Si la expresión incluye uno o varios signos de agrupación, éstos indican el orden en que debemos resolver las opeaciones unidas por dichos signos. Si existe un signos de agrupación dentro de otro, siempre debemos eliminar (resolver primero) el que está "mas adentro". ¿Cómo resolveríamos el siguiente ejemplo?:
100 / [10 (3 + 2) ].
Primer Paso: Resolver la operación que está adentro del paréntesis:
3 + 2 =5
Segundo paso: Resolver la operación que está dentro del corchete:
10 (5) = 50
Tercer paso: Se resuelve la operación una vez que se han eliminado los signos de agrupación:
100 / 50 = 2
En seguida resolveremos algunas operaciones que contienen signos de agrupación. En primer ejemplo se exponen los pasos que se deben seguir:
4 + 3 (2 + 5), Primero se suma 2 + 5 y se tiene:
4 + 3 (7), Como todavía hay paréntesis, se multiplica 3(7),
4 + 21 = 25, La suma restante se puede efectuar porque ya no hay signos de agrupación.
Cuando se eliminan signos de agrupación, con frecuencia se comete el error de sumar primero, en el ejemplo anterior sería sumar 4 + 3, y después multiplicar. Es necesario tener presente la jerarquía en las operaciones: en primer lugar se deben resolver las multiplicaciones o divisiones. Analicemos el siguiente ejemplo:
2 [(4 + 2) (3 + 5)], Primero se suma, por separado, (4 + 2) y (3 + 5) y se tiene:
2 [(6) (8)], Como todavia hay parentesis, se eliminan multiplicando 6 por 8;
2 [48] = 96, Eliminamos los corchetes multiplicando 2 por 48.
Ejemplos:
(6 + 4) 3 = (10) 3 = 30
4 + [8 - (9 - 6)] = 4 + [8 - 3] = 4 + 5 = 9
En este ultimo ejemplo es importante señalar que el 3 multiplica a todo lo que está adentro de las llaves.
2 + 3 {9 - [(5) (2) - 3]} = 2 +3 {9 - [10 - 3]}
= 2 + 3 {9 - [7]}
= 2 + 3 {2}
= 2 + 6
=8
Propiedad conmutativa
La palabra conmutar significa "cambiar de lugar"; esta propiedad se aplica en las sumas o adiciones y en los productos o multiplicaciones.
Si en 4 + 6 + 5 conmutamos, obtendremos:
4 + 5 + 6 = 15
5 + 4 + 6 = 15
5 + 6 + 4 = 15
6 + 4 + 5 = 15
6 + 5 + 4 = 15
Si en (2) (3) (5) = 30 conmutamos, obtendremos:
(2) (5) (3) = 30
(3) (5) (2) = 30
(3) (2) (5) = 30
(5) (5) (5) = 30
(5) (3) (2) = 30
La palabra conmutar significa "cambiar de lugar"; esta propiedad se aplica en las sumas o adiciones y en los productos o multiplicaciones.
Si en 4 + 6 + 5 conmutamos, obtendremos:
4 + 5 + 6 = 15
5 + 4 + 6 = 15
5 + 6 + 4 = 15
6 + 4 + 5 = 15
6 + 5 + 4 = 15
Si en (2) (3) (5) = 30 conmutamos, obtendremos:
(2) (5) (3) = 30
(3) (5) (2) = 30
(3) (2) (5) = 30
(5) (5) (5) = 30
(5) (3) (2) = 30
En los ejemplos anteriores se presentaron todas las conbinaciones posibles de sus factores, cualquier combinación en ellos el resultado sera el mismo.
La propiedad conmutativa para la sustracción y división de números naturales no es válida. Veamos los siguientes ejemplos:
1. Si tenemos ocho paletas y nos comemos tres, nos sobran cinco; pero si tuviéramos tres y quisiéramos comernos ocho, nos faltarían cinco; entonces tenemos que:
1. Si tenemos ocho paletas y nos comemos tres, nos sobran cinco; pero si tuviéramos tres y quisiéramos comernos ocho, nos faltarían cinco; entonces tenemos que:
8 - 3 = 5, pero 3 - 8 = -5 donde 8 - 3 ≠ 3 - 8
2. Si tenemos diez pasteles y los dividimos entre cinco alumnos, les tocan dos pasteles a cada uno; pero si tenemos sólo cinco pasteles e intentamos dividirlos entre diez alumnos, les toca la mitad (0.5) a cada uno de ellos; entonces tenemos que
10 / 5 = 2, pero 5 / 10 = 0.5 donde 10 / 5 ≠ 5 / 10
Propiedad asociativa
Esta propiedad se aplica en muchas operaciones aritméticas con números naturales. Indica que se pueden relacionar o agrupar dos o más términos. Como mínimo debemos tener tres sumandos, o tres factores, para realizar la asociación: para aplicar y expresar esta propiedad se necesitan los signos de agrupación ( ), [ ] y { }.
Ejemplos:
2 + 4 + 5 = (2 + 4) + 5
11= 6 + 5
11= 11
Esta asociación indica: primero suma 2 más 4 y al resultado hay que sumarle 5.
(2) (3) (6) = (2) [(3) (6)]
36 = (2) (18)
36 = 36
Esta asociación indica: primero multiplica 3 por 6, y su resultado hay que multiplicarlo por 2.
La propiedad asociativa para la adición y el producto permite asociar números por pares al principio, en medio o al final de la operación.
5 + 3 + 2 + 4 = 14
(5 + 3) + 2 + 4 = 14 al principio
5 + (3 + 2) + 4 = 14 En medio
5 + 3 + (2 + 4) = 14 Al final
Ejemplos:
¿Es lo mismo (15 - 4) - 3 que 15 - (4 - 3)? No, pues:
(15 - 4) - 3 = 11 - 3 = 8
15 - (4 - 3) = 15 - 1 = 14
Propiedad distributiva
Es la propiedad de repartir una operación en otra, quedando igual la respuesta. A continuación explicaremos la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición y la sustracción; es decir, encontraremos la relación que se da entre dos factores cuando uno de ellos, el factor (a) multiplica a otro que es una suma (b + c) o una resta (b - c).
La propiedad distributiva consiste en distribuir un factor a en una suma
(b + c) o en una resta (b - c).
Por ejemplo, ¿Qué sucede si tenemos a (b + c) o a (b - c)? ¿Se puede escribir de otra forma?
La propiedad distributiva se expresa como:
a (b + c) = ab + ac o a (b - c) = ab - ac
De esta manera, esta propiedad se puede definir de la siguiente forma:
"El producto de unos de los factores por otro que es la suma de dos términos es igual a la suma de los productos del primero por cada uno de los otros dos."
Ejemplos:
Producto Suma
2 (4 + 3) = 2 (4 ) + 2 (3)
2 (7) = 8 + 6
14 = 14
2 (4 - 3) = 2 (4) - 2 (3)
2 (1) = 8 - 6
2 = 2
No es valida la propiedad distributiva para el cociente. Para comprender mejor revisa el siguiente ejemplo:
12 / (4 + 2) ≠ (12 / 4 ) + (12 / 2)
12 / (6) ≠ 3 + 6
2 ≠ 9
Así, la propiedad distributiva sólo se aplica en la multiplicación sobre la suma o la resta.
Para recordar:
Adición: como sinónimo de suma.
Sustracción: como sinónimo de resta.
Producto: como sinónimo de multiplicación.
Cociente: como sinónimo de división.
"Propiedad conmutativa": Se aplica a la adición y el producto. Establece que los elementos de estas operaciones pueden cambiar de lugar sin que se altere el resultado de la operación.
"Propiedad asociativa": Se aplica en la adición y el producto. Establece que los elementos de estas operaciones se pueden asociar (agrupar) como lo deseemos sin alterar el resultado de la operación.
"Jerarquía": Es el orden en que se deben resolver las operaciones matemáticas.
"Jerarquía en las operaciones": Primero multiplicar y dividir y después sumar o restar, siempre de izquierda a derecha.
"Los números naturales": Son los que sirven para contar; 1, 2, 3, 4 ..., el conjunto de números naturales se expresa con una N y no incliye el cer.
"Los números enteros": Es el conjunto de números negativos y positivos, además del cero, se representa con la letra Z; así, tenemos que el conjunto de números enteros Z = {... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 ...}
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
"Propiedad asociativa": Se aplica en la adición y el producto. Establece que los elementos de estas operaciones se pueden asociar (agrupar) como lo deseemos sin alterar el resultado de la operación.
"Jerarquía": Es el orden en que se deben resolver las operaciones matemáticas.
"Jerarquía en las operaciones": Primero multiplicar y dividir y después sumar o restar, siempre de izquierda a derecha.
"Los números naturales": Son los que sirven para contar; 1, 2, 3, 4 ..., el conjunto de números naturales se expresa con una N y no incliye el cer.
"Los números enteros": Es el conjunto de números negativos y positivos, además del cero, se representa con la letra Z; así, tenemos que el conjunto de números enteros Z = {... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 ...}
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
En la adición y sustracción no se aplica la ley de los signos, esta ley es únicamente para el producto y cociente.
SUMAR: Significa que los números escritos después de un signo de suma, conservan su propio signo.
RESTAR: Significa que los números escritos después de un signo de resta, deben cambiar su signo.
1. Podemos sumar números positivos:
(+4) + (+2)= +4 +2= +6
2. O sumar números negativos:
(-3) + (-3) = -3 - 3= -6
3. O bien sumar positivos y negativos:
(-6)+(+2)= -6 + 2 = -4
En los casos anteriores se puede observar que al sumar, cada número conserva su propio signo, por lo que podemos plantear que después de un signo dde suma, cada número conserva su propio signo.
En lo que se refiere a la resta o sustracción, significa que restar un número de otro implica que al primero se le debe sumar su inverso adictivo o simétrico.
Por ejemplo:
(+10) "- (+8)" = 10 + "(-8)" = 10 - 8 = 2
(+10) "- (-8)" = 10 + "(+8)" = 10 + 8 = 18
*Negritas: Inverso adictivo
En los caso anteriores se puede observar que, al restar, lo que sucede es que el número que se resta cambia dde signo, ya que se aplica el inverso adictivo. De esta manera, concluimos que un signo de resta o sustracción nos señala que debemos cambiar el signo de cada número que le siga o sea afectado por éste.
De ahora en adelante sabremos que:
- SUMA (+) SIGNIFICA QUE NO CAMBIA EL SIGNO.
- RESTA (-) SIGNIFICA QUE SÍ CAMBIA EL SIGNO.
Ejemplos:
(+8) + (+3) + (+5) = +8 +3 +5 = +16
- (+8) - (+3) - (+5) = -8 -3 -5 = -16
+(-4) - (+10) - (-7) = -4 -10 +7 = -14 +7 = -7
(+5) - (-2) + (-2) = +5 +2 -2 = +5
- El signo de suma (+) indica que el número que le sigue conserva su signo.
- Inverso adictivo: Por cada número entero existe otro (simétrico tal que la suma de estos dos da como resultado el cero. Por ejemplo: +7 -7 = 0.
Para recordar:
"Si antes de un número no hay signo, se entiende que el número es positivo, pero este signo, por convención, no lo escribimos. Por el momento lo utilizaremos con la finalidad de que se entiende mejor los ejercicios. Por ejemplo: +7 = 7."
Producto y Cociente
LEY DE LOS SIGNOS
Para resolver productos y cocientes es necesario aplicar la ley de los signos, según la cual:
El producto de signos iguales dará positivo:
(+) (+) = (+)
(-) (-) = (+)
El producto de signos contrarios dará negativo:
(+) (-) = (-)
(-) (+) = (-)
El cociente de signos iguales dará positivo:
(+) / (+) = (+)
(-) / (-) = (+)
El cociente de signos contrarios dará negativo:
(+) / (-) = (-)
(-) / (+) = (-)
Cuando se trabaja con un producto, tenemos mínimo dos factores, pero pueden ser muchos más, sobre todo en el caso de las potencias.
Por lo tanto, ahora aplicaremos la ley de los signos en productos de más de dos factores para encontrar sus reglas.
Caso 1. Si todos los factores son positivos, el resultado será positivo, sin importar cuántos son los factores que contenga la operación.
(+) (+) = (+)
(+) (+) (+) = (+)
(+) (+) (+) (+) = (+)
Caso 2. Si todos los factores son negativos, se puede presentar dos situaciones:
a) Si el número de factores es par; es decir, si son 2, 4, 6, 8,..., el resultado será positivo.
(-) (-) = (+)
(-) (-) (-) (-) = (+)
b) Si el número de factores es impar; es decir, si son 1, 3, 5, 7,..., el resultado será negativo.
(-) (-) (-) = (+)
(-) (-) (-) (-) (-) = (+)
Caso 3. Si hay factores positivos y negativos, no tomamos en cuenta los signos positivos, ya que éstos no alteran el signo del resultado; sólo aplicamos la regla del caso 2 para los signos negativos.
(+) (+) (+) (-) = (-)
》 No tomamos en cuenta los positivos (+), sólo tenemos un signo negativo y por lo tanto el resultado será negativo.
(+) (-) (+) (-) = (+)
》 No tomamos en cuenta los positivos (+), tenemos dos signos negativos y por lo tanto el resultado será positivo.
(-) (+) (-) (-) (+) = (-)
》 No tomamos en cuenta los positivos (+), tenemos tres signos negativos y por lo tanto el resultado será negativo.
(-) (+) (-) (-) (+) (+) (-) = (+)
》 No tomamos en cuenta los positivos (+), tenemos cuatro signos negativos y por lo tanto el resultado será positivo.
Ejemplos:
1. Si en una operación tenemos 50 factores positivos y siete factores negativos, el signo del resultado será negativo. ¿Por qué? Puesto que hay un número impar de factores negativos, el resultado será negativo, de acuerdo con la regla planteada en el inciso (b) del caso 2.
2. Si en otra operación tenemos tres factores positivos y 12 factores negativos, el signo del resultado será positivo. ¿Por qué? Puesto que hay un número par de factores negativos, el resultado será positivo, de acuerdo con la regla planteada en el inciso (a) del caso 2.
Solución de Productos y Cocientes
Para realizar productos y cocientes, lo primero que tenemos que hacer es aplicar la ley de los signos; de esta manera, conoceremos el signo del resultado. Después se efectúa la multiplicación o división, según sea el caso, considerando los números enteros como si fueran números naturales. Esto puede hacerse siempre y cuando se aplique primero la ley de los signos.
Ejemplos:
1. (-2) (-3) (+4) = (-) (-) (2) (3) (4) = +24
Con dos signos negativos el resultado es positivo. Multiplicando obtenemos
2 x 3 x 4 = 24.
2. (+5) (-1) (-2) (-7) = (-) (-) (-) (5) (1) (2) (7) = -70
Con tres signos negativos el resultado es negativo. Multiplicando obtenemos
5 x 1 x 2 x 7 = 70
En la solución de problemas no se deben olvidar las siguientes propiedades:
1. Todo número multiplicado por 1, nos da el mismo número. Al número 1 lo llamamos neutro multiplicativo.
(9) (1) = 9
(-6) (1) = -6
Es fácil deducir que cualquier cantidad que se multiplica por 1 dará como resultado la misma cantidad.
2. Todo número multiplicado por cero da cero. Usemos un ejemplo para ilustrar esta propiedad del cero en la multiplicación:
"Si en un periodico se anuncia la venta de un terreno de 10 metros de frente por cero metros de fondo por 500 pesos, ¿lo comprarías? ¡Claro que no!, por que en realidad no es un terreno o superficie lo que están vendiendo.
(10 m) (0) = 0 m
Por otro lado, si te dijera que el edificio más alto de la ciudad tiene 50 metros de frente por 100 metros de ancho y 0 metros de altura, ¿lo creerías? Desde luego que no porque en realidad no es un edificio, sino una superficie.
(50 m) (100 m) (0) = 0
Así pues, cualquier cantidad multiplicada por cero es igual a cero.
Para la división es importante tener presente los siguientes casos:
1. Cualquier número distinto de cero, dividido entre sí mismo es igual a 1.
(40) / (40) = 1
(333 333) / (333 333) = 1
(0.0008) / (0.0008) = 1
Toda cantidad distinta de cero dividida entre sí misma, siempre es igual a la unidad.
2. El elemento neutro en la división es el número 1. Cualquier cantidad dividida entre 1 es igual a la misma cantidad.
235 / 1 = 235
3. Cero entre cualquier cantidad, distinta de cero, da cero.
0 / 15 = 0
4. Cualquier cantidad dividida entre cero queda indeterminada. La división entre cero no está definida, porque si al dividir entre cero nos diera algún otro número, entonces al multiplicarlo por cero nos daría cualquier otro.
Por ejemplo, si queremos dividir 10 entre cero, el resultado no puede ser igual a cero, porque la división no tiene propiedad conmutativa. De echo en matemáticas, dividir cualquier cantidad entre cero no tiene sentido; por esa razón se establece que es una operación con resultado indeterminado. En la practica no tiene aplicación, por lo que no se utiliza.
Es frecuente cometer el error de pensar que 10 / 0 = 10; pero es una equivocación, porque 10 / 1, entonces tenemos que:
10 / 0 no es igual a cero y 10 / 0 no es igual a 10 porque 10 / 1 = 10
Así que 10 / 0 = Indeterminado.
(10 m) (0) = 0 m
Por otro lado, si te dijera que el edificio más alto de la ciudad tiene 50 metros de frente por 100 metros de ancho y 0 metros de altura, ¿lo creerías? Desde luego que no porque en realidad no es un edificio, sino una superficie.
(50 m) (100 m) (0) = 0
Así pues, cualquier cantidad multiplicada por cero es igual a cero.
Para la división es importante tener presente los siguientes casos:
1. Cualquier número distinto de cero, dividido entre sí mismo es igual a 1.
(40) / (40) = 1
(333 333) / (333 333) = 1
(0.0008) / (0.0008) = 1
Toda cantidad distinta de cero dividida entre sí misma, siempre es igual a la unidad.
2. El elemento neutro en la división es el número 1. Cualquier cantidad dividida entre 1 es igual a la misma cantidad.
235 / 1 = 235
3. Cero entre cualquier cantidad, distinta de cero, da cero.
0 / 15 = 0
4. Cualquier cantidad dividida entre cero queda indeterminada. La división entre cero no está definida, porque si al dividir entre cero nos diera algún otro número, entonces al multiplicarlo por cero nos daría cualquier otro.
Por ejemplo, si queremos dividir 10 entre cero, el resultado no puede ser igual a cero, porque la división no tiene propiedad conmutativa. De echo en matemáticas, dividir cualquier cantidad entre cero no tiene sentido; por esa razón se establece que es una operación con resultado indeterminado. En la practica no tiene aplicación, por lo que no se utiliza.
Es frecuente cometer el error de pensar que 10 / 0 = 10; pero es una equivocación, porque 10 / 1, entonces tenemos que:
10 / 0 no es igual a cero y 10 / 0 no es igual a 10 porque 10 / 1 = 10
Así que 10 / 0 = Indeterminado.
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